4827: [Hnoi2017]礼物

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Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

Sample Output

1

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第

二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为

：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

HINT

Source

Solution

　　由于是多项式第一题所以抄的yyb的题解（说的像我后面就能自己做一样。。。）

　　为了方便，我们从0开始编号，然后答案就是下面这个式子

　　\[{\mathop{ \sum }\limits_{

{i=0}}^{

{n-1}}{\mathop{

{

{ \left( {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i}}\mathop{

{-y}}\nolimits_{

{i+k}}+c} \right) }}}\nolimits^{

{2}}}}\]

　　其中${c}$的取值范围为${ \left[ {-m,m} \right] }$，因为一旦超过这个范围，$c+{\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i}}}$的绝对值一定大于${\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i}}}$的绝对值，这样把$c$+1或-1一定能使答案更小。

　　把答案式子拆开：

　　\[{

{ \sum {\mathop{

{\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i}}}}\nolimits^{

{2}}}}+{ \sum {\mathop{

{\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i}}}}\nolimits^{

{2}}}-{2 \sum {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i\text{ }}}\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i+k}}}+n\mathop{

{c}}\nolimits^{

{2}}+}}2c \left( { \sum {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i}}}-{ \sum {\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i}}}}} \right) }\]

　　c可以枚举，所以除了${ \sum {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i\text{ }}}\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i+k}}}}$都算常数项了，接下来考虑如何最大化${ \sum {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i\text{ }}}\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i+k}}}}$

　　显然不能n^2暴力乘。我们把$x$看成一个多项式，把$y$ reverse一下，也看成一个多项式，然后做卷积，发现卷积后第n-1项的系数恰好就是${ \sum {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i\text{ }}}\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i}}}}$。

　　解法呼之欲出：把$y$(reverse后的)复制一遍接在后面，然后跟$x$做卷积，那么卷积后第n-1+k项的系数就是${ \sum {\mathop{

{x}}\nolimits_{

{i\text{ }}}\mathop{

{y}}\nolimits_{

{i+k}}}}$。

　　//公式编辑得好累……

Code

#include
      
       using namespace std;const int N=1<<19;const double pi=acos(-1.0);inline int read(){    int x=0,w=0;char ch=0;    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();    return w?-x:x;}struct cp{    double x,y;    cp(double xx=0,double yy=0):x(xx),y(yy){};    cp operator + (const cp &tmp)const{
    return cp(x+tmp.x,y+tmp.y);}    cp operator - (const cp &tmp)const{
    return cp(x-tmp.x,y-tmp.y);}    cp operator * (const cp &tmp)const{
    return cp(x*tmp.x-y*tmp.y,x*tmp.y+y*tmp.x);}};int n,m,ans,ss,sa[N],sb[N],rev[N],res[N];cp a[N],b[N];void fft(int n,cp a[],int fg){    for(int i=0;i
       
        >1]>>1)|((i&1)<<(l-1));    fft(lim,a,1),fft(lim,b,1);    for(int i=0;i